Perkalian Titik dan Perkalian Silang

Vektor bukan bilangan biasa, sehingga perkalian biasa tidak bisa langsung digunakan pada vektor. Kita harus menggunakan perkalian vektor. Perkalian vektor terdiri dari dua jenis, yaitu perkalian titik dan perkalian silang. Perkalian titik disebut juga perkalian skalar karena menghasilkan besaran skalar. Perkalian silang disebut juga perkalian vektor karena perkalian tersebut menghasilkan besaran vektor.

Misalnya terdapat dua vektor, yakni A dan B. Perkalian skalar dari vektor A danB dinyatakan dengan A.B (karena digunakan notasi titik maka perkalian ini dinamakan perkalian titik). Perkalian vektor dari A dan B dinyatakan dengan A x B. Karena digunakan notasi x, maka perkalian ini disebut perkalian silang.

Perkalian titik

Misalnya diketahui vektor A dan B sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Perkalian titik antara vektor A dan B dituliskan sebagai A.B (A titik B).

Untuk mendefinisikan perkalian titik dari vektor A dan B (A.B), digambarkan vektor A dan vektor B yang membentuk sudut teta (sambil lihat gambar di bawah). Selanjutnya kita gambarkan proyeksi dari vektor B terhadap arah vektor A. Proyeksi ini adalah komponen dari vektor B yang sejajar dengan vektor A, yang besarnya sama dengan B cos teta.

Dengan demikian, kita definisikan A.B sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen vektor B yang sejajar dengan A. Secara matematis dapat kita tulis sebagai berikut :

AB cos teta merupakan bilangan biasa (skalar). Karenanya perkalian titik disebut juga perkalian skalar. Bagaimana jika perkalian titik antara vektor Adan B dibalik menjadi B.A ? sebelum kita definisikan B.A, terlebih dahulu kita gambarkan proyeksi dari vektor A terhadap vektor B (lihat gambar di bawah).

Berdasarkan gambar ini, kita dapat mendefinisikan B.A sebagai besar vektor Byang dikalikan dengan komponen vektor A yang sejajar dengan B. Secara matematis dapat kita tulis sebagai berikut :

Hasil perkalian titik A.B = AB cos teta dan hasil perkalian titik B.A = BA cos teta. Karena AB cos teta = BA cos teta, maka berlaku A.B = B.A

Beberapa hal dalam perkalian titik yang perlu anda ketahui :

1.    Perkalian titik memenuhi hukum komutatif

A.B = B.A

2.    Perkalian titik memenuhi hukum distributif

A. (B + C) = A.B + A.C

3.    Jika vektor A dan B saling tegak lurus, maka hasil perkalian titik A.B = 0

Ketika vektor A dan B saling tegak lurus, maka sudut yang dibentuk adalah 90^o. Cos 90^o = 0. Dengan demikian : A.B = AB cos teta = AB cos 90^o = 0. Sebaliknya, B.A = BA cos teta = BA cos 90^o = 0

4.    Jika vektor A dan vektor B searah, maka A.B = AB cos 0^o = AB

Ketika vektor A dan B searah, maka sudut yang dibentuk adalah 0^o. Cos 0 = 1. Dengan demikian, A.B = AB cos teta = AB cos 0^o = AB. Sebaliknya B.A = BA costeta = BA cos 0^o = BA

(Anda jangan bingung dengan AB dan BA. Besar AB = besar BA. Misalnya besar vektor A = 2. besar vektor B = 3. maka A.B = 2.3 = 6; ini sama saja denganB.A = 3.2 = 6. dipahami perlahan-lahan ya…)

5.    Syarat lain dari dua vektor yang searah, jika A = B maka diperoleh A.A =A² atau B.B = B²

6.    Jika vektor A dan B berlawanan arah (ketika dua vektor berlawanan arah maka sudut yang dibentuk adalah 180º), maka hasil perkalian A.B = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.

Cos 180º = -1.

Contoh soal :

Sebuah vektor A memiliki besar 4 satuan dan vektor B memiliki 3 satuan. Tentukan hasil perkalian titik dari kedua vektor jika sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah 60º, 90º dan 180^o

Panduan jawaban :

Karena A.B = B.A maka kita bisa memilih menggunakan salah satu. Misalnya kita menggunakan A.B, dengan demikian kita tulis persamaannya

A.B = AB cos teta

Besar A = 4 satuan dan besar B = 3 satuan.

Soal latihan :

Dua vektor A dan B masing-masing besarnya 6 satuan dan 4 satuan. Tentukan perkalian titik antara kedua vektor jika sudut yang terbentuk adalah 30^o, 60^o, 90^o, 120^o, 150^o, 180^o

Perkalian silang

Perkalian silang dari dua vektor, misalnya vektor A dan B ditulis sebagai A x B(A silang B). Perkalian silang dikenal dengan julukan perkalian vektor, karena hasil perkalian ini menghasilkan besaran vektor.

Misalnya vektor A dan vektor B tampak seperti gambar di bawah.

Untuk mendefinisikan perkalian silang antara vektor A dan B (A x B), kita gambarkan vektor A dan B seperti gambar di atas, dan digambarkan juga komponen vektor B yang tegak lurus pada A (lihat gambar di bawah), yang besarnya sama dengan B sin teta

Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan besar perkalian silang vektor Adan B (A x B) sebagai hasil kali besar vektor A dengan komponen vektor Byang tegak lurus pada vektor A.

Bagaimana jika A x B kita balik menjadi B x A ?

Terlebih dahulu kita gambarkan vektor B dan A serta komponen vektor A yang tegak lurus pada B (amati gambar di bawah…)

Berdasarkan gambar ini, kita dapat mendefinisikan perkalian silang antara vektor B dan A (B x A) sebagai hasil kali besar vektor B dengan komponen vektor A yang tegak lurus pada vektor B. Secara matematis ditulis :

Arah Perkalian Silang A x B

Perkalian silang adalah perkalian vektor, sehingga hasil perkaliannya memiliki besar dan arah. Besar hasil perkalian vektor telah kita turunkan di atas, sekarang kita menentukan arahnya. Untuk menentukan arah A x B, terlebih dahulu kita gambarkan vektor A dan B seperti gambar di bawah. Kedua vektor ini kita letakan pada suatu bidang (sambil lihat gambar di bawah ya….)

Kita definisikan perkalian silang A x B sebagai suatu vektor yang tegak lurus bidang di mana vektor A dan B berada. Besarnya sama dengan AB sin teta. JikaC = A x B maka C = AB sin teta

Arah C tegak lurus bidang di mana vektor A dan B berada. Kita dapat menggunakan kaidah tangan kanan untuk menentukan arah C. Jika kita menggenggam jari tangan di mana arahnya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, maka arah C searah dengan arah ibu jari menuju ke atas.

Arah Perkalian Silang B x A

Untuk menentukan arah B x A, terlebih dahulu kita gambarkan vektor B dan Aseperti gambar di bawah. Kedua vektor ini kita letakan pada suatu bidang (sambil lihat gambar di bawah ya….)

Jika C = B x A maka C = BA sin teta.

Arah C tegak lurus bidang di mana vektor B dan A berada. Kita dapat menggunakan kaidah tangan kanan untuk menentukan arah C. Jika kita menggenggam jari tangan di mana arahnya searah dengan arah putaran jarum jam, maka arah C sama dengan arah ibu jari menuju ke bawah.

A x B tidak sama dengan B x A. Hasil perkalian silang menghasilkan besaran vektor, di mana selain mempunyai besar, juga mempunyai arah. Pada penurunan di atas, arah A x B berlawanan arah dengan B x A.

Beberapa hal dalam perkalian silang yang perlu anda ketahui :

1.   Perkalian silang bersifat anti komutatif.

A x B = – B x A

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah B pada A x B berlawanan dengan arah B pada B x A.

2.  Jika kedua vektor saling tegak lurus maka sudut yang dibentuk adalah 90^o.Sin 90^o = 1. Dengan demikian, besar hasil perkalian silang antara vektor A danB akan tampak sebagai berikut :

A x B = AB sin teta = AB sin 90^o = AB

B x A = BA sin teta = BA sin 90^o = BA

Ingat ya, ini adalah besar hasil perkalian silang.

3.   Jika kedua vektor searah, maka sudut yang dibentuk adalah 0^o. Namanya juga segaris…

Sin 0^o = 0. Dengan demikian, nilai alias besar hasil perkalian silang antara vektor A dan B akan tampak sebagai berikut.

A x B = AB sin teta = AB sin 0^o = 0

B x A = BA sin teta = BA sin 0^o = 0

Hasil perkalian silang antara dua vektor yang searah alias segaris kerja sama dengan N0L.

Refrensi :

gurumuda.com